Rodolfo Guzzi Introduzione ai metodi inversi

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Non e facile definire che cosa sia un problema inverso anche se, ogni giorno facciamo delle operazioni mentali che sono dei metodi inversi. Ad esempio riconoscere i luoghi che attraversiamo quando andiamo al lavoro o passeggiamo, riconoscere una persona conosciuta tanti anni prima etc. Eppure la nostra cultura non ha ancora sfruttato appieno queste nostre capacita, anzi ci insegna la realta utilizzando i metodi diretti. Ad esempio ai bambini viene insegnato a fare di conto utilizzando le quattro operazioni. Guardiamo ad esempio la moltiplicazione, essa e basata sul fatto che presi due fattori e moltiplicati tra di loro si ottiene il loro prodotto. Il corrispondente problema inverso e quello di trovare un paio di fattori che diano quel numero. Noi sappiamo che questo problempu anche non avere una unica soluzione. Infatti nel cercare di imporre una unicit della soluzione utilizziamo i numeri primi aprendo un mondo matematico complesso. Probabilmente il pi antico problema inverso fu fatto da Erodoto, attraverso l'interpolazione lineare. Il problema diretto quello di di calcolare una funzione lineare, che fornisce un risultato quando si introducono due numeri, ma un problema inverso come quello dell'interpolazione lineare pu avere una soluzione, nessuna soluzione, infinite soluzioni in relazione al numero e alla natura dei punti. Poich esiste una stretta dipendenza tra il problema diretto e quello inverso, buona norma impratichirsi con il problema diretto prima di affrontare il problema inverso. Questo approccio richiede che, soprattutto quando si ha a che fare con modelli fisico matematici, si sviluppi una strategia sul modello diretto, utilizzando tutti gli strumenti della conoscenza. Ad esempio cercare le soluzioni di tutte le possibili combinazioni che possono essere ottenute utilizzando vari dati di input; fare una presentazione grafica dei risultati che ci permettono, da una o pi curve, ricavare ilimiti di utilizzabili del modello. I problemi inversi hanno avuto una notevole influenza sulla scienza, anche se l'approccio convenzionale quello di privilegiare il problema diretto. Tuttavia con l'avvento dei calcolatori i problemi inversi hanno beneficiato di parecchi vantaggi tra cui quello di meglio controllare le instabilit computazionali e di affrontare problemi che richiedevano un grande sforzo computazionale, se fatti a mano, che non avrebbero portato ad alcun risultato tangibile. Nonostante questo le percentuali di successo per la soluzione dei problemi inversi sono ancora basse e quindi c' necessit di nuovo e pi approfondito lavoro che questo libro i tratteggia fornendo lo stato dell'arte della scienza dei problemi inversi con appliczioni alla geofisica, fisica dell'atmosfera e dell'oceano e terilevamento da satellite.