Richard Courant, Iris Runge (TRN), Herbert Robbins Was ist Mathematik?

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47 brauchen nur den Nenner n so gro zu wahlen, da das Intervall [0, Ijn] kleiner wird als das fragliche Intervall [A, B], dann mu mindestens einer der Bruche mfn innerhalb des Intervalls liegen. Also kann es kein noch so kleines Intervall auf der Achse geben, das von rationalen Punkten frei ware. Es folgt weiterhin, da es in jedem Intervall unendlich viele rationale Punkte geben mu; denn wenn es nur eine endliche Anzahl gabe, so konnte das Intervall zwischen zwei beliebigen benachbarten Punkten keine rationalen Punkte enthalten, was, wie wir eben sahen, unmoglich ist. 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 1. Einleitung Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer Groe, so kann es vor- kommen, da a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall konnen wir das Ma der Strecke b durch das von a ausdrucken, indem wir sagen, da die Lange von b das r-fache der Lange von a ist. Oder es kann sich zeigen, da man, wenn auch kein ganzes Vielfaches von a genau gleich bist, doch a in, sagen wir, n gleiche Strecken von der Lange ajn teilen kann, so da ein ganzes Vielfaches m der Strecke ajn gleich b wird: (1) b=~a.