Hans Grauert, Ingo Lieb Differential- und Integralrechnung I.

Annotation

Das vorliegende Brich uber Funktionen einer reellen Veranderlichen ist der erste Teil einer dreibandigen Darstellung der Differential- und Integralrechnung. In den folgenden Banden sollen Funktionen mehrerer Veranderlichen, gewohnliche Differentialgleichungen und Integrations- theorie behandelt werden. Das Werk ist aus Vorlesungen fur Studienanfanger der Mathematik und Physik hervorgegangen. Dem einfuhrenden Charakter dieser Vor- lesungen gema soll auch das Buch einem Leser, der keine Vorkenntnisse in hoherer Mathematik besitzt, die Gelegenheit geben, einen moglichst strengen und systematischen Aufbau der Theorie der reellen Funktionen kennen zu lernen. Dementsprechend sind alle Beweise bis in die Einzel- heiten hinein ausgefuhrt, und in den ersten Paragraphen werden wich- tige Beweismethoden eigens erlautert. Dabei nehmen wir jedoch den logischen und mengentheoretischen Gesetzen gegenuber einen "naiven", d. h. nicht-axiomatischen, Standpunkt ein. Das gilt besonders fur das Prinzip der vollstandigen Induktion und damit auch fur den Begriff der naturlichen Zahl und der Folge. Wir geben eine Ubersicht uber den Inhalt des Buches. Grundlegend ist der Begriff der reellen Zahl. Im ersten Kapitel werden die Axiome des reellen Zahlkorpers mit ihren einfachsten Folge- rungen ausfuhrlich besprochen; die unendlich fernen Punkte + oo und - oo werden axiomatisch miteingefuhrt. Die nachsten beiden Kapitel sind dem Umgebungsbegriff und dem darauf fuenden Grenzwertbegriff fur Folgen und Reihen gewidmet. Da wir fur die Definition der Konvergenz die naturliche (uniforme) Topologie der Zahlengeraden zugrundelegen, bleibt die Konvergenz gegen oo ausgeschlossen. -Die Begriffe "Iimes superior" und "Iimes inferior" sind so gefat, da sie mit der Definition der halbstetigen Funktionen harmonieren.