Ulrich Krause, Tim Nesemann Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme

Annotation

Dieses Buch befat sich mit der mathematischen Analyse von dynamischen Prozes- sen, deren zeitliche Entwicklung nicht kontinuierlich flieend, sondern in diskreten Zeit- schritten modelliert wird. In den Naturwissenschaften, den Ingenieurwissenschaften und den Wirtschaftswissenschaften wird haufig bei der Untersuchung dynamischer Vorgange zunachst ein Modell in diskreter Zeit formuliert, also eine Differenzengleichung oder ein (zeit-) diskretes dynamisches System. Anschlieend wird dann gewohnlich durch einen Grenzubergang, bei dem die Lange eines Zeitschritts gegen Null strebt, das diskrete Modell in eine oder mehrere Differentialgleichungen verwandelt. Dieses Vorgehen, das besonders in der Physik sehr erfolgreich ist mit Ausstrahlungen bis hin in die Sozialwis- senschaften, hat den groen Vorteil, da sich dabei das hochentwickelte mathematische Instrumentarium der Differentialgleichungen und differenzierbaren dynamischen Syste- me anzapfen lat. Ein Nachteil liegt jedoch darin, da fur eine numerische Auswertung des Modells zum Zwecke der empirischen Uberprufung, das kontinuierliche Modell wie- der in ein diskretes Modell zuruckverwandelt werden mu. Das scheint nicht nur ein Umweg zu sein, insbesondere angesichts eines zunehmenden Einsatzes von Computern, sondern birgt auch zusatzliche Probleme, da es trotz gewisser Analogien keine systemati- schen Ubersetzungsregeln zwischen Differentialgleichungen und Differenzengleichungen gibt, vor allem nicht, wenn nichtlineare Vorgange im Spiel sind. Auch aus diesem Grund bildet sich mehr und mehr eine Tendenz heraus, das erstellte diskrete Modell direkt mit Methoden der Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systeme zu untersu- chen; dieses Vorgehen ist etwa in der Biologie und der Okonomie seit jeher gebrauchlicher als z. B. in der Physik.